Title: 12
Author: *****
Last saved by: Social Science & Mathematics

12.3.2000
מאקרו ב'
הרצאה מס' 4

1.	המערכת עם כמות כסף קבועה

הגדרה: שווי משקל מונטרי
סדרה של מחירים V(t) t=1,2,…, כאשר כל אחד מאברי הסדרה הוא חיובי ממש, המקיים את המשוואה:

(M ללא (t) מכיוון שכמות הכסף קבועה בכל תקופה).
סדרת הערכים תהיה חיובית ממש, ובפרט לא נרצה יתכן שאחד מאברי הסדרה יהיה 0, כיון שכפי שראינו, משמעות הדבר שאין שימוש בכסף בתקופות הקודמות. 
המשוואה אומרת שסך הביקוש ליתרות ריאליות בכל רגע --  כאשר ביקוש זה תלוי בגודל המענקים ובשיעור התשואה על כסף -- יהיה שווה לסך ההיצע ליתרות ריאליות, הכל במונחים ריאלים. 
הערה: בעוד שלא תמיד קיים שווי משקל מונטרי, תמיד קיים שווי משקל לא מונטרי. שווי משקל לא מונטרי מוגדר כאותו המצב אליו מגיעה המערכת מבלי לאפשר שמוש במוסד החברתי שנקרא כסף.  אמנם, יתכן שהתוצאה המתקבלת אינה פרטו אופטימלית,  אך היא תמיד אפשרית. אין שום "כוח עליון" שאומר שמערכת כזו לא תפעל. אם יש ממשלה בלתי אחראית, היא יכולה לגרום לקריסת מערכת הכסף, כך שהפרטים לא ישתמשו בו.  מקרים כאלו קרו במציאות, והמודל מתאר אותם היטב. במודל IS-LM, לעומת זאת, מניחים מלכתחילה שבהכרח יש שימוש בכסף, ואין אפשרות לבחון את השאלה 'מתי מוסד הכסף יכול לקרוס'.  אין אפשרות לקבוע מהם התנאים שצריכים להתקיים על מנת שתתפקד מערכת הכסף.

w_1

c_1

W(w_1, w_2)

c_1(t)

c_2(t+1)

q(t)

V(t+1)/V(t)

èè

הגודל q  הוא הביקוש ליתרות ריאליות, כאשר ניתן לראות שכל שינוי בגודל המענקים, או בשיפוע קו התקציב של הפרט ישפיע על גודל q.  משחילצנו את פונקצית הביקוש של הפרטים לכסף, פונים לפונקצית היצע הכסף, הנתונה במונחים ריאלים, ומוצאים את נקודת המפגש בין שתי פונקציות אלו. 

M(t) כמות היתרות הריאליות

V(t) - מחיר הכסף במונחים של יחידות מוצר

Q^D

Q^S

אנו נרצה למצוא את סדרת המחירים, דלעיל.  ללא ידיעת סדרת המחירים העתידית, אין אפשרות לבנות את קו התקציב, ואי אפשר למצוא את הגודל q.  

שווי משקל סטציונארי
נדרש: לקבל סדרה קבועה של (c_1,c_2) בלי תלות ב- t, בשווי משקל.  הנחת הסטציונאריות אומרת שבכל תקופה הפרטים צורכים אותו דבר, בין אם "תאריך" התקופה הוא 100 או 250.  תנאי לקבלת שווי משקל כזה:

(t מתחיל מ- 0 עבור w_2 מכיוון שמכלילים את הזקנים הראשוניים מתקופה 0).

כדי לקבל c_1 קבוע נדרש:

הגודל c_1  קבוע, וגם w_1 קבוע.  מכך נובע ש- q צריך להיות קבוע.  ואם על q להיות קבוע, אזי גם הגודל V(t+1)/V(t) יהיה קבוע.  נראה זאת:

אנו מניחים כי כמות הכסף קבועה, M(t) = M (כלומר z = 1).
שווי המשקל המתקבל הנו פרטו אופטימלי.

נרצה כעת לחשב באופן מפורש את סדרת המחירים שתתקיים בשווי משקל:

מתוך הנ"ל ניתן ללמוד שכמות הכסף (הקבועה) משפיעה רק על רמות המחירים. בפרט, נניח 2 כלכלות הנבדלות בכמות הכסף הראשונית המוזרקת לתוך המערכת. כמות הכסף באחת היא 100 מיליון שקלים, ובשניה 200 מיליון שקלים. השאלה: האם יש לכמות הכסף השפעה על שווי המשקל שיושג בשתי הכלכלות הללו?  התשובה:  לכמות הכסף הראשונית המוזרקת לכלכלה יש השפעה רק על רמות המחירים.  בשווי משקל V(t+1)/V(t) = n תמיד, ללא תלות בכמות הכסף ההתחלתית שיש במערכת.  תמיד יתקיים:

לכן:

כמובן מניחים כי V(1) > 0 וכן כי n > 0,  ובהתאם כל רמות המחירים העתידיות יהיו גם הן חיוביות.  

חוק ולראס  (Walras’ Law)  
ולראס הנו אבי התאוריה של שווי משקל כללי.  לפי תאורית שווי משקל כללי מסתכלים על מערכת כלכלית בתור אינטראקציה מושלמת בין כל הפרטים הקיימים בה. נדרוש שיתקיים שווי משקל בכל השווקים, כלומר עבור כל מוצר צריך יתקיים שהביקוש שווה להיצע. ניתן גם לקבוע באילו מחירים יתקיים שווי משקל כללי זה. השאלה:  האם אנו צריכים "לדאוג" למציאת שווי המשקל עבור כל אחד מהשווקים הקיימים במשק בנפרד?  
במודל שלנו ישנם בכל רגע 2 שווקים:
1.	שוק הכסף, בו אנו דורשים שבשווי משקל הביקוש ישתווה להיצע של היתרות הריאליות לכסף
2.	שוק המוצרים, בו סך הכמות הנצרכת של המשאבים שווה לסך מצאי המשאבים. 
במודל IS-LM שוק הכסף מתייחס ל- LM ושוק המוצרים ל- IS.  שוק המוצרים במודל שלנו מתייחס למוצר התצרוכת שמקבלים הפרטים בצורת מענקים.  
  
התשובה לשאלה: לפי חוק ולראס, אם יש n שווקים, ומתוכם n-1 מאוזנים, כלומר הביקוש שווה להיצע בכל אחד מהם, אזי גם השוק למוצר ה- n יהיה מאוזן אוטומטית. זו למעשה מערכת של n  משוואות ב- n נעלמים, אך מספיק לפתור n-1 משוואות על מנת לאזן את ה"משוואה" ה- n.

נוכל להראות את קיום החוק.  נוח לנו להתחיל מאיזון בשוק הכסף, ולעבור לשוק המוצרים.  אך באותה מידה ניתן לאזן את שוק המוצרים תחילה.  בשוק המוצרים חייב להתקיים "חוק שימור החומר" לפיו היצע המוצרים, או כמות המוצרים הקיימת (צד ימין של המשוואה) שווה לביקוש למוצרים (צד שמאל).  במודל IS-LM, יתכנו עודפי ביקוש והיצע, אך אין הסבר לאופן הסיפוק של עודפים אלו. בגירסה שלנו של מודל הדורות החופפים, משוואת המקורות ושימושים אומרת:

	

צד ימין הוא התוצר, בעוד שצד שמאל הוא התצרוכת.
נדגיש כי שמרנו על ה- (t) רק לשם הבדלה בין סוגי הפרטים החיים באותה תקופה, אך הנחת הסטציונאריות ממשיכה להתקיים.  
נראה שקיום משוואת מקורות ושימושים נובע, למעשה, משווי משקל בשוק הכסף.  

ניתן לכתוב את מגבלות התקציב כך:

אם נחבר את שתי המשוואות:

כך אנו מראים כי אם שוק הכסף מתאזן (בקוש=היצע), גם שוק המוצרים מתאזן.

2.	מערכת עם כמות כסף משתנה

א.	שינוי חד פעמי בכמות הכסף.  נחזור להשוואה בין שתי המערכות הכלכליות הנבדלות בכמות הכסף הראשונית שלהן.  התוצאה המתקבלת בשווי משקל: קפיצה חד פעמית במחירים בפרופורציה לשינוי החד פעמי בכמות הכסף.  מעבר לכך אין כל שינוי, בפרט ההקצאות אינן משתנות בשווי משקל.  ניסוי אמיתי של תופעה זו: המעבר מהלירה לשקל, ומהשקל לשקל החדש. סך כל השינוי היה חלוקה של המחירים ב- 10,000.  תופעה זו שכיחה בקרב כלכלות בעלות תהליכים אינפלציוניים. לכאורה לא צריכה להיות שום השפעה, מלבד ה"מחיקה" של כמה אפסים מן המחירים שרואים הפרטים.  השאלה: האם לשינוי חד פעמי יש איזושהי השפעה?  הצפי בתאוריה: לא, רמת המחירים תתאים עצמה באופן מיידי וחוץ מזה אין שום שינויים ריאליים.  בהסתכלות אמפירית על הנתונים בכלכלות שעברו תהליכים דומים, רואים שאכן אין שינויים ריאלים. יש כמובן שינויים נומינליים, ברמות המחירים.

ב.	שינויים מתמשכים בכמות הכסף.  ניתן לחשוב על שינויים כאלו בדומה לשיטה א', אלא שהשינוי מתבצע לעיתים תכופות, ולא באופן חד פעמי. למשל, בכל שנה מחלקים את המחירים מחדש ב - 10.  אנו מניחים שהפרטים יודעים מראש שיהיו שינויים תכופים ושואלים מה תהיה ההשפעה על התנהגותם. נראה שבתנאים מסוימים הם אינם משנים את התנהגותם.  אך, תוצאה זו אינה חד משמעית. במקרים אחרים נקבל תוצאה אחרת. לכן, בעקרון, ישנן שתי אפשרויות  במקרה זה: 1). בדיוק כמו באפשרות א' לעיל, בה אין כל שינוי ריאלי, ורמת המחירים יורדת/עולה ומתאימה עצמה באופן מיידי.  2). ישנם שינויים ריאליים.  

כרגע נניח שכמות הכסף משתנה בלי להבין מנין נובע השינוי. בהמשך, נבחן מדוע קיימים מצבים כאלו מלכתחילה, כלומר מדוע ממשלות גורמות לשינויים בכמות הכסף. 

נתמקד בשתי וריאציות: הזרמה פרופורציונית של כסף, וגידול בכמות הכסף בצורת מענקים קצובים.

לגבינו, השינוי המתמשך בכמות הכסף מתבצע בשיעור קבוע, M(t+1)/M(t) = z , כאשר z לא בהכרח שווה ל- 1.  אם יש הקטנה של כמות הכסף, אזי z < 1, לחלופין אם יש גידול בכמות הכסף, z > 1.  במודל, z  הוא קבוע, זאת אומרת שכל שנה שיעור השינוי בכמות הכסף קבוע.
כפי שראינו, שווי משקל מונטרי סטציונארי מתקבל כאשר: 
					
אזי אם n/z < 1, משמעות הדבר שיש אינפלציה.  אם n/z > 1, אזי יש דפלציה.  

בניתוחנו כדלהלן, אנו מניחים שאם הממשלה מדפיסה עוד שקלים, אזי סך השקלים הנוספים האלו עוברים לידי הציבור.  כיצד?

אופי הזרמת הכסף הנוסף (יכול להיות גם הוצאת כסף מהמערכת):
א.	הזרמה פרופורציונית
ב.	הזרמת כסף בצורת מענקים קצובים

הזרמה פרופורציונית
כל פרט צעיר יודע שבתקופה הבאה הוא יקבל תוספת שלz-1   שקלים על כל 1 שקל שיהיה ברשותו.  נניח ש- z = 1.1, אזי בכל תקופה כמות הכסף עולה ב- 10%. אם פרט מחזיק ב- 100 שקלים יקבל תוספת של 10 שקלים כשיכנס לתקופת חייו השניה.  התוספת תלויה בכמות הכסף שיש לו מהתקופה הקודמת. הפרטים יודעים מלכתחילה כי בתקופה הבאה יקבלו כסף באופן שתלוי במה שיש להם היום.  הדבר דומה מאוד ל"אוסף גדול של שנויים חד פעמיים" בכמות הכסף.  השינוי מתבצע אינסוף פעמים. הפרטים יודעים את הקשר בין מה שיש בכיסם היום לבין מה שיהיה בכיסם מחר. 
נראה שניתן להבין תרגיל זה כהצמדה מושלמת: כל מה שיש ברשות הפרט צמוד. בעולם כזה אין חשיבות לאינפלציה, מכיוון שהכל צמוד.  
מגבלת התקציב תחת מדיניות זו:

איחוד קווי התקציב:

הגרף דומה לגרפים מהשעורים הקודמים, מלבד הכנסת ה- z לשיפוע קו התקציב.

w_1

c_1

W(w_1, w_2)

c_1(t)

c_2(t+1)

q(t)

V(t+1)z/V(t)

הערה: נקודת המענקים ההתחלתית, W, נמצאת על קו התקציב.  נאמר ש"קו התקציב עגון ב W".    
אנו יודעים כי בשווי משקל: V(t+1)/V(t) = n/z.  אם נציב גודל זה בשיפוע קו התקציב, נקבל כי הוא שווה ל- n.  כלומר בשווי משקל, קו התקציב בלתי תלוי ב- z (כל עודz >0, כי פירושו של z=0 הוא השמדה של כל כמות הכסף).  אפשר להגדיר מערכת שכזו כ"סופר נייטרלית" כלומר כל שינוי בכמות הכסף z לא ישפיע על ההקצאה בשווי המשקל. במערכת כזאת של הצמדה מושלמת אין "עוגן מונטרי" – כל שינוי בכמות הכסף ישנה את המחירים באופן פרופורציוני, וכל שינוי ברמת המחירים משנה את כמות הכסף באופן פרופורציוני.  אי אפשר לקבע את רמת המחירים. עם זאת, מדיניות מונטרית תהיה חסרת חשיבות כי אין לה השפעה ריאלית. 

החדרת כסף בצורת מענקים קצובים
מנקודת מבטו של הפרט (בניגוד לנקודת המבט המצרפית של הזרמה פרופורציונית):  הפרט הצעיר סבור שהוא יקבל תוספת של h(t+1) שקלים בתקופה הבאה ללא קשר לכמות הכסף שצבר בתקופה הנוכחית.  המילה "סבור", קריטית, כי התפיסה שלו שגויה (בשיווי משקל).  בשווי משקל הפרט אכן יקבל z-1 שקלים פרופורציונית למה שקיבל קודם. 
נניח ש z=0.1. בשיטת המענקים הקצובים, הפרט הצעיר חושב שאם יש לו 50 שקלים היום, יקבל 5 שקלים בעתיד – וזה נכון. אבל הפרט הזה גם מאמין כי אם יש בכיסו 100 שקלים או 0 שקלים, גם אז יקבל 5 שקלים.  זוהי דעתו הסובייקטיבית של הפרט, והיא שגויה. מי שמתבונן בנתוני המשק הסטטיסטיים מבחוץ, יראה שינוי בכמות הכסף של 10%, ולא יוכל להבחין בשיטת החדרת הכסף למערת (פרופורצינית, או מענקים קצובים). ברמה המצרפית  M(t+1)/M(t) = z, בשני המקרים. אבל התוצאה הריאלית המתקבלת שונה מאד במקרה של המענקים הקצובים. החדרת הכסף תהיה מאוד לא נייטרלית.  
נבחן את המערכת הזו, דרך מגבלת התקציב של הפרט:

הפרט סבור שאין שום קשר בין ה- h  לבין ה- m.  התוספת נתפסת כמספר קבוע.  נאחד את שני קווי התקציב (אנו שוב חייבים להניח שהפרט ירצה להחזיק בכמות כסף כלשהי):

צד ימין של המשוואה: _h(t)  זהו למעשה הערך הנוכחי של ההכנסות העתידיות. המחובר האחרון, לאחר צמצום, מקבל את הערך V(t)h(t+1), השווה לערך הנוכחי של המענק המונטרי במונחי מוצר.  הפרט יודע כי בעתיד יקבל 5 שקלים, הוא שואל את עצמו – מה הערך היום של 5 השקלים האלו?  הוא יודע בדיוק כמה יחידות מוצר יוכל לרכוש ב- 5 שקלים אלו.  הפרט הזה כביכול התעשר, מנקודת מבטו הסובייקטיבית. אבל כמות התצרוכת במערכת לא גדלה, לכן ישנו קונפליקט מסוים. לכאורה, הוא יכול לצרוך יותר מההקצאה הראשונית שלו - w_1, w_2.  אם יבחר ב- c_1 = w_1 יוכל גם לבחור c_2 > w_2 כי הוא מקבל תוספת – בצורת מענק עתידי. וההפך גם נכון – הוא יכול לבחור c_2  =  w_2 וכן 
 c_1 > w_1.  לכאורה הפרט יכול לצרוך יותר ממה שיש.  נראה תצוגה גרפית של הבעיה:

w_1

W

c_1(t)

c_2(t+1)

n

w_2

קו התקציב של הפרט

קו אפשרויות התצרוכת

V(t+1)/V(t) = n/z

אנו מניחים כיh  הוא גודל חיובי.  רואים כי נקודת ההקצאות ההתחלתיות (w_1,w_2) כבר אינה על קו התקציב הסובייקטיבי של הפרט.  קו התקציב כבר לא "מעוגן" בנקודה זו.  

מתכנן העל, שלפניו עומד קו אפשרויות התצרוכת, רואה בכל מקרה את השיפוע  (n) של קו אפשרויות התצרוכת.

בשווי משקל סטציונארי, אנו דורשים שתתקיים מגבלת מקורות שימושים:

חלוקה ב- N(t)  תיתן:

קו זה מתווה בקו העבה שבגרף.
כל הנקודות שעל קו התקציב, הנמצאות מעל לקו אפשרויות התצרוכת, בלתי אפשריות.  זהו מצב של עודף ביקוש. המצב ההפוך גם הוא בלתי אפשרי בשיווי משקל – המצאות על קו התקציב באזור מתחת קו אפשרויות התצרוכת, זהו מצב של עודף היצע. כלומר בשווי משקל אנחנו צריכים להביא את המשק להמצא על קו אפשרויות התצרוכת.    
אנחנו צריכים לעמוד על כך שהמשק יצרוך בדיוק את מה שיש לצרוך – לא יותר ולא פחות.  לא יותר, כי אי אפשר, ולא פחות כי אז אין שווי משקל.  
סיכום העובדות הידועות עד כה:
א.	שיפוע קו התקציב שווה ל- n/z
ב.	בשווי משקל, חייבים להמצא על קו אפשרויות התצרוכת

אנו צריכים לדאוג שהפרטים ירצו להיות על קו אפשרויות התצרוכת, בשיפוע של n/z.  מכיוון שהפרטים הנם חופשיים, הם חפשיים לחלוטין לבחור היכן ימצאו. אם מערכת עקומות האדישות שלהם משיקה לקו התקציב בנקודה בה יש עודף ביקוש או עודף היצע – יש בעיה. לכן, בשווי משקל, נצטרך ליצור מצב בו עקומת האדישות משיקה לקו התקציב ששיפועו n/z, בנקודת החיתוך של אותו קו תקציב עם קו אפשרויות התצרוכת.  נתחיל להתוות עקומות אדישות שונות, ולמצוא את השיפוע בו הן חותכות את קו אפשרויות התצרוכת, עד שנמצא את הנקודה הרצויה.  נעבור על מספר רב של עקומות אדישות, עד שנמצא כזו שעונה על התנאים הללו.  נניח כרגע שיש רק עקומת אדישות אחת כזו, אותה נבחר. מבחינת שיטת הפתרון: אנו יודעים איך הפתרון הסופי צריך להראות, ומזה מוצאים איפה המערכת תהיה.    

c_2(t+1)

n

n/z

U_0

c_1(t)

ניתוח אנליטי של אותו מצב:

תנאי סדר ראשון:

כאשר צד ימין: שיפוע קו התקציב, צד שמאל: שיפוע עקומת האדישות.  אפשר לראות זאת, כאלו השתנה של התקופה השניה:

ומכאן מתקבל הביקוש ליתרות ריאליות:

המנה V(t+1)/V(t) ידועה מלכתחילה (בשיווי משקל).  אך הגודל V(t+1)*h(t+1) אינו ידוע.  ננסה לעבד אותו על ידי הכפלתו ב-  (V(t)/V(t)):

נזכיר כי M(t+1)/M(t) = z וכי על פי ההגדרה של שווי משקל בשוק הכסף:
(צד שמאל הוא סך כמות הכסף שיש במערכת בתקופה הבאה)

מכאן:

לסיכום:  לאחר מעשה, ex-post, הפרטים רואים במקרה זה בדיוק את מה שראו מלכתחילה הפרטים שקיבלו מענק פרופורציוני!

מתקבל:

נציב את הממצאים האלו בפונקצית הביקוש לכסף:

כאשר z = 1, זהו מקרה פרטי שבו כמות הכסף לא גדלה, אותו כבר בחנו. כאשר z1  הגודל q מופיע גם בצד ימין וגם בצד שמאל.  עכשיו q  (בצד שמאל) תלוי ב- q (בצד ימין).  הדבר נובע מכך שהביקוש של הפרט לכסף היום תלוי בכמה כסף יקבל בתקופה הבאה.  אם המענק גדול בתקופה הבאה, הפרט יקטין את הביקוש לכסף עתה. 

כשמגדילים את z: אם z > 1, לא מתקבלת תוצאה פרטו אופטימאלית.  ככל ש- z גדל, קו התקציב נהיה שטוח יותר ו- q קטן.  נקודת החיתוך של קו התקציב עם קו אפשרויות התצרוכת תנוע לאורך קו אפשרויות התצרוכת לכיוון דרום מזרח.  מתקבלת הקצאה פרטו נחותה. בהנתן z גבוה מאוד, נקודת החיתוך עשויה להמצא מדרום מזרח ל- W ו- q עשוי להיות שלילי.  במצב כזה לא מתקיים שווי משקל מונטרי.  אנו שוב רואים שתחת מדיניות בלתי אחראית, מערכת הכסף תקרוס.